[通过分数学分式] 数学分式计算题

  数学是以数量关系和空间形式为主要形式和研究对象的科学,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的,这样的抽象是一个逐步深入的过程,人们首先从计算具体物体个数的活动中抽象出整数概念,又从把一个具体事物分为若干份的活动中抽象出分数的概念,这是一种从实物到数的抽象,人们在研究整数和分数的过程中,为了更好的反映一般规律,又抽象出整式和分式的概念,这是一种数到式的抽象。
  “从具体到抽象,从特殊到一般”是人们认识事物经常经历的过程,所以,我们在教学过程中,应该充分利用学生对分数已有的认识基础,发挥这样的认识基础的作用,通过分式和分数的类比,从具体到抽象、从特殊到一般的认识分式,解决有关分式的习题,这样有助于理解和记忆所学的分时段内容。同时,这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用。
  那么我们先一起探讨一下分式和分数之间究竟存在怎样的关系吧!
  分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。在这个定义中,需要特别注意定义中隐含的几点:①分式是两个整式相除的分式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;②分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据。在这个概念中,如果A,B都是整数,那么就成了我们熟悉的分数了。既然分数和分式在形式上如此相像,那么他们是不是也具有很多共同的性质呢?我们是不是可以通过对分数的性质的掌握来理解分式的一些性质呢?
  一、为什么分式需要判断何时有意义?
  在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义。这里,分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。这个条件其实我们在学习分数的时候就知道,0不能当分母,所以,我们就很好理解为什么必须会判断一个分式何时有意义。
  相关习题:
  当x取什么值时,下列分式有意义?
   (1)(2) (3)
  解:(1)当3x-5≠0,即x≠时,分式有意义。
  (2)当|x|-1≠0时,即x≠±1时,分式有意义。
  (3)因为无论x取什么值,x2+2>0,所以无论x取任何实数,分式都有意义。
  二、会解决当x为何值时,分式值为0.
  根据以前学习的分数的知识,=0,=0,=0,所以学生很容易得到:让一个分式的分子为0,这个分式的值为0的结论。但是,在学习分数的时候,我们就知道0是不能当分母的,也就是是没有意义的。用除法也很好解释:0除以任何一个不为0的数,商为0。在这里,也强调了分母(或者除数)不能为0.所以,让一个分式值为0的正确结论是:分子为0但是分母不为0。相关习题:
  当x取何值时,下列分式值为0?
  (1) (2) (3)
  解:(1)由x+2=0,2x-3≠0,得x=-2.所以,当x=-2时,分式值为0.
  (2)由|x|-2=0,x+2≠0,得x=2.所以,当x=2时,分式值为0.
  (3)由x-3=0,x-9≠0,得到无论x取何值分式的值都不可能为0,所以没有使分式值为0的x的值。
  三、会解决一个分式何时值为正,何时值为负?
  在前面分数的学习中,我们知道分数线起除号的作用,利用除法法则,两数相除,同号得正异号得负,从而在分式的题中,我们通过这个法则,可以很容易解决这类型的题。如:
  (1)当x 时,分式的值为正?
  (2)当x 时,分式的值为负?
  (3)当x 时,分式的值为正?
  解:(1)根据实数运算法则,同号相除得正,而分子1是正数,可知x+2是正数,所以 x+2>0,x>-2.
  (2)因为x2+1>0,根据实数运算法则,异号两数相除得负,可知1-x1.
  (3)在这个题目中,无论是分式的分子还是分母我们都无法判断是正还是负,但是根据实数运算法则,我们可以借助于不等式组,来解决这道题:当分子是正的时候,分母也是正的;当分子是负的时候分母也是负的。于是得到:
  x-1>0 x+2>0或者x-11时或者x